Solusi Dengan Metode Grafik

Jika model persoalan programa linier hanya melibatkan dua variabel keputusan (X₁ dan X₂), maka solusinya dapat dicari dengan menggunakan metode grafik. (Untuk persoalan programa linier yang melibatkan lebih dari dua variabel keputusan, metode grafik tidak dapat digunakan).

Langkah-langkah penyelesaian persoalan programa linier dengan metode grafik sebagai berikut:

1.     Gambarkan fungsi-fungsi kendala:

Untuk keperluan itu, pertidaksamaan dianggap berbentuk persamaan.

Contoh:

Fungsi kendala : a1₁X₁ + a1₂X₂ ≤ b₁ => a1₁X₁ + a1₂X₂ = b₁

Jika X₁ = 0 maka X₂ = b₁ / X₁

=> A ( 0 , b₁ / X₁ )

Jika X₂ = 0 maka X₁ = b₁ / X₂

=> B (b₁ / X₂ , 0 )

2.     Tentukan Area Laik (feasible area) bagi masalah yang bersangkutan yakni area yang dibatasi garis-garis kendala. Area laik ditunjukkan oleh area yang diatesis pada bidang yang dibatasi garis-garis kendala.

Petunjuk:

·        Jika fungsi kendala berbentuk ≤ (misalnya a1₁X₁ + a1₂X₂ ≤ b₁) maka arsirlah bidang disebelah kiri garis kendala.

·        Jika fungsi kendala berbentuk ≥ (misalnya a1₁X₁ + a1₂X₂ ≥ b₁) maka arsirlah bidang disebelah kanan garis kendala.

·        Irisan (Intersection) daribidang-bidang yang diarsir merupakan area laik bagi persoalan programa linier yang bersangkutan.

Misalnya ada dua fungsi kendala:

a1₁X₁ + a1₂X₂ ≤ b₁

a2₁X₁ + a2₂X₂ ≥ b₂

                                                                 

3.     Tentukan nilai-nilai tujuan pada setiap koordinat titik potong gas-garis kendala yang membatasi area laik. Titik-titik itu boleh disebut titik-titik relevan.

Misalnya, pada contoh diatas:

Titik-titik relevan adalah A, C, dan E.

Hitung nilai tujuan (Z) pada asing-masing titik relevan:

Z_A = ?

Z_C = ?

Z_E = ?

4.     Tentukan nilai tujuan yang memberi penyelesaian optimum (maksimum atau minimum).

Misalnya, pada contoh diatas:

·        Jika kasusnya adalah maksimasi:

Z_A

Z_C    =>  yang paling tinggi merupakan nilai tujuan yang memberikan nilai maksimum

Z_E

·        Jika kasusnya adalah minimasi:

Z_A

Z_C   =>  yang paling rendah merupakan nilai tujuan yang memberikan nilai minimum

Z_E

Contoh Solusi Dengan Metode Grafik.

PT. Auto Indah memproduksi dua jenis mobil, yaitu mobil sedan dan truk. Untuk dapat merangkul konsumen berpenghasilan tinggi perusahaan ini memutuskan untuk melakukan promosi dalam dua macam acara televisi yaitu acara hiburan dan acara olahraga. Promosi pada acara hiburan akan disaksikan oleh 7 juta pemirsa wanita dan 2 juta pemirsa pria dalam 1 menit penayangan. Promosi pada acara olahraga akan disaksikan oleh 2 juta pemirsa wanita dan 12 juta pemirsa pria dalam 1 menit penayangan. Biaya promosi pada acara hiburan adalah 5 juta rupiah permenit, sedangkan pada acara olahraga 10 juta rupiah per menit. Jika perusahaan menginginkan promosinya disaksikan sedikitnya 28 juta pemirsa wanita dan 24 juta pemirsa pria, berapa lamanya promosi dalam acara hiburan dan acara olahraga agar dicapai biaya promosi minimum dan berapa biaya promosi minimumnya?

Variabel Keputusan:

X₁ : Durasi Acara Hiburan / menit

X₂ = Durasi Acara Olahraga / menit

Model LP:

Minimumkan Z = 5x₁ + 10x₂

Terhadap Pembatas:

7x₁ + 2x₂ ≥ 28 (pemirsa wanita)

2x₁ + 12x₂ ≥ 24 (pemirsa pria)

Dimana x_j ≥ 0     _j = 1,2

*7x1 + 2x2 ≥ 28	=>	7x1 + 2x2 = 28
		X1 = 0 X2 = 0	=> =>	7(0) + 2x2 = 28 => 2x2 = 28 => x2 = 14 => A ( 0 , 14 ) 7x1 + 2(0) = 28 => 7x1 = 28 => x1 = 4 => B ( 4 , 0 )

*2x1 + 12x2 ≥ 24	=>	2x1 + 12x2 = 24
		X1 = 0 X2 = 0	=> =>	2(0) + 12x2 = 24 => 12x2 = 24 => x2 = 2 => C ( 0 , 2 ) 2x1 + 12(0) = 24 => 2x1 = 24 => x1 = 12 => D ( 12 , 0 )

Titik Relevan : A, D, E

Nilai pada Z A = 5(0) + 10(14) = 140

Nilai pada Z D = 5(12) + 10(0) = 60

Nilai pada Z E:

7x1 + 2x2 = 28 2x1 + 12x2 = 24	x6 x1	42x1 + 12x2 = 168 2x1 + 12x2 = 24
		=> 40x1 = 144 => x1 = 3.6

Masukan x₁ = 3.6 pada persamaan 2x₁ + 12x₂ = 24 :

2(3.6) + 12x₂ = 24

7.2 + 12x₂ = 24

12x₂ = 16.8

=> x₂ = 1.4

Jadi koordinat titik E adalah (3.6 , 1.4)

Maka

Nilai pada Z E = 5(3.6) + 10(1.4) = 32

Kesimpulan:

1.     Agar mencapai biaya promosi minimum, PT Auto Indah sebaiknya melakukan promosi pada acara hiburan selama 3.6 menit dan pada acara olahraga selama 1.4 menit.

Biaya promosi minimum yang dicapai adalah sebesar 32 juta.